数学知识对我们的启发
作者：陈孝基 时间：2016-02-17
前言一
这也许是笔者自行选辑的最后一本小册子，收集了时间跨度达半个世纪的文稿：写于1964年6月的《［二］数学知识说明了什么》、《科学技术和社会发展与人类对物质存在表现方式的认识》（95版）、以及新改于2014年10月的同名（科精二改篇、14版）三篇，笔者虽为文风一致做过结构、文词修饰，实质内容均未改动，以期浏览者自行做出判断。
笔者此举虽有沽名钓誉之嫌，但他是一个早逾古稀、风烛残年的老人，全无追逐名利的必要。倾心相诉，笔者意在借它们表明：通过科技知识——尤其是现代科技成果和史实回顾——掌握与运用辩证唯物主义基本观点和重要理论是完全可能的；致力于辩证唯物主义——尤其是它在现阶段的发展哲学——的持续提高与普及运用，对古老而又年青的中华民族的振兴、发展、求谐，至关重要。尤其是这两方面的相互渗透，交融共进，更是人们实现崇高目标的有力保证。笔者真诚地期待越来越多的志士仁人协同努力，创造出越来越大的人生价值和社会效益。 草于2014-11-3清晨3时
本文回顾：这篇写于上世纪60年代的文稿是今年3月间由潘君行栋由成都带来，他是我高中读书时最要好的同学。1959至1964年，他在浙江大学读书，我当时在甘肃工作，我俩仍然保持着较为密切的通讯往来，故曾将当时写成的文稿，寄给他交流。
认真重读这篇旧文稿，两点感觉油然而生：其一，我这一生始终在那时选定的对国家、对社会、对人民负责；亦即是通过科技知识自学辩证唯物主义基本观点和重要理论的道路探索求进，波折叠起，尽历坎坷，好在始终如一，向心无愧，自享其乐。其二，与现时反映在《科学技术和社会发展与人类对物质存在表现方式的认识》（科精二改）一文比较，这篇旧文稿或许不够完整、深刻，但它写于我涉世不久的青年时期，且立足于当时普通高校的数学课本，在确认科学技术是第一生产力的现时，能在相当程度上有利于辩证唯物主义的“中国化时代化大众化”，在实践上有着后两篇无法取代的探索意义和社会价值，故主笔者将执着自荐，期待社科单位理解、支持。
本文说明、关键词、内容简介三段，系2014年8月抄录在电脑时后加。文稿末后完成时间请勿删改。
本文说明：这篇写于1964年6月的长文（1.8万多字），之所以被自己淡忘，只留下曾经设想通过数理化知识解释辩证唯物主义观点、且写好了两篇、最后一篇因“被下放到木工组劳动锻炼”而未进行的模糊印象，是由于这一“锻炼”长达十七年。等到笔者恢复哲学自学时，原来计划已茫无印象，不得不另起炉灶，着眼于现实体验去探讨物质客观存在的表现方式。
感谢真摯的高中同学潘君，他借为自己办理祖产房屋证件之机，带来了包括我写给他两封信（大概写于1963年，原信只注明月、日，）在内的5种文稿，使笔者惊喜的发现，至今犹拟修改、自视最高的《科学技术和社会发展与人类对物质存在表现方式的认识》一文，竟然与写于1964年6月的《［二］数学知识对我们的启发》哲学习作一脉相承，异曲同工，具有互补性。
岁月无情，笔者老矣，无力对《［二］数学知识对我们的启发》再作修改、发挥，亦难辨其中的正、误，只能对标点、词、字略加校正，在重点段落添加下划线，并把所得渗透到《科学技术和社会发展与人类对物质存在表现方式的认识》的再改之中，力争前者按原样公开发表，以期有心人能将这两篇结合起来，精研细析、比对求真。天若贾年，笔者自当参与，使自己一生善始善终。
关键词：数学知识 辩证唯物主义 客观实在 思维抽象
内容简介：本文共分五个部份。第一部分“写在前面”， 说明“用自然科学知识来说明哲学理论”、尤其是用辩证唯物主义覌点剖析数学知识来源、意义以及思维抽象特点的重要性。第二部分“数学知识和辩证唯物主义”，从数学的发展过程着眼，实事求是的说明数学知识，既“……与人类的思维过程有关。……，它又与人类生产实践的过程以及客观事物量这方面关系的实在状况有关。”（p22——这个页码是原稿上的，本节余同）。指出“数学各分科的建立，……，这不仅与思维认识的顺序有关，而且由生产发展和它所研究的对象本身决定。”（p23）。指出“数学生动的证明了辩证唯物主义观点，而辩证唯物主义观点能使我们对数学有更深刻、更确切的了解，……只有辩证唯物主义观点，才能使我们了解数学之所以有力的根源，找到发展数学科学的正确道路。”（p24-25）。文章进而提出“根据数学知识和其他科学所表明的事实，更深入的考察客观世界的实在状况、思维的特性、以及它们之间的相互关系。”（p25）。第三部分“数学知识所表明的客观世界”，文章通过数学知识的比较、剖析，归纳，从而得出了三点结论：“所有事物既是不同的，又是统一的，这是数学知识向我们显示的客观世界实在状况之一。”（p28）。“客观事物的量，连同决定这种量的质，都是借助于彼此的联系表现出来；而它们彼此间的联系又依赖于它们自身存在，两者是不可分割的，这是数学知识向我们显示的客观世界的实在状况之二。”（p29）。“客观事物的区别和联系是同样的客观、确定和真实，且各有自己的内容、特点和表现方式，两者不可混淆，这是数学知识向我们显示的客观世界的实在状况之三。”（p31）。第四部分“数学知识所表明的思维特点”，文章从主观和客覌两个方面，对思维的四个主要特点进行认真的深入分析，强调“……思维之所以能够抽象，与事物之间存在联系以及它们对感官的作用不同分不开。”（p32）。指出“思维之所以有力，不单在于它能够进行主观制作，更主要是在于它能够根据外界所提供的材料，通过主观制作，使自己的形式能够更深刻、更确切、更全面的符合客观存在的状况。”（p35）。文章作了这样的总结“思维之所以有自己的特点，与客观存在有关，我们应该使自己的认识深入到这一方面，抓住它的根源，以便充份发挥它的作用，而不应该仅以指出它的特点的内容为限。”（p37）。第五部分“对有关问题的回答”，文章根据对数学知识的探讨，得出了这样的结论：“数学知识之所以能够指导我们的实践，思维活动之所以有力，其客观方面的根源在于客覌事物彼此之间存在着联系，能够相互影响，并在彼此的联系中，按一定的规律，实现自身的变化；在于思维能直接支配行动的物质力量，并通过行动的物质力量支配其他客观事物所具有的物质力量。”（p37）。并据此回答了有关哲学普及的三个问题。
正文：
（一）写在前面
数字是一门既古老又高度抽象的科学，它产生于远古时代，并作为联系人们共同生活的一条纽带，随着生产分工的复杂化，随着科学的进步，逐渐的、不可阻挡的渗入人类活动的每一领域，发挥着越来越明显、越来越巨大的作用。我们可以十分清楚的看到，现在，它在进行经济建设、协调社会生活、控制自然变化、掌握自然力量方面，它在我们日常生活的每一件事务中，都已经变得不可缺少。它是我们做好工作，过好日子的主要关键之一。为什么一门高度抽象的、看起来好像是纯粹主观设想和规定的科学，会如此古老，而又如此重要，这是一个值得我们认真思考的问题。
通常我们都有这样一种体会，每当我们做好一件工作，我们可以得到两方面的收获，一方面就是工作成果本身。另一方面，就是在工作整个过程中所得到的经验和教训。就某种意义来说，这种经验和教训比工作成果本身更可宝贵，因为，它具有更大的普遍性，是创造更大成绩的新起点。数学是千百万人民辛勤劳动和无数学者刻苦钻研的结晶，我们学习数学，不仅要掌握前人所积累的知识本身，而且要通过这些知识，通过他们获得知识的过程，去认识产生这些知识的根源，认识我们所赖以存在的外部世界，了解思维活动之所以有力的根源。只有这样，我们才能说，自己是用严肃、认真的态度去对待数学科学，而数学的作用，也才能被发挥得更充分。
事实上，过去的统治阶级、剥削阶级、以及为它们服务的知识分子，也已经或多或少的意识到数学具有这两方面的意义。他们利用数学的高度抽象性，去宣传适于他们需要的唯心主义观点，或者利用当时科学知识的不足，给数学罩上神秘的外衣，去愚弄劳动人民。只有工人阶级的革命导师恩格斯，根据辩证唯物主义，才第一次明确的指出了数学与客观世界的内在的；然而是真实的联系，指出了数学发展与生产发展的联系，为推动数学发展、总结数学发展所提供的经验，指明了方向。到了今天，我们已进入社会主义建设时期，正需要广大的人民群众学会运用马克思主义的基本原理——辩证唯物主义和历史唯物主义去战胜资本主义残余势力，消除旧社会所留下的影响，开发各种自然资源，更需要对数学知识进行剖析。
当我抱着用自然科学知识来说明哲学理论的动机阅读数学教材时，以上几点感想便油然而生，它们说明了对数学知识进行有关哲学的讨论，具有特殊的重要意义，于是，我便把它们写在这一部分的前面。
（二）数学知识和辩证唯物主义观点
当我们以实事求是的态度去考察数学的时候，我们就会自然的得出一个结论，数学证实了辩证唯物主义观点。辩证唯物主义认为，物质先于精神存在。作为物质表现形态的客观事物处于不停的运动状态之中，它由低级进到高级，由简单进到复杂，复杂事物是简单事物发展、质变的结果，这种客观的状况反映到人的思维中，人的思维也就有类似的情景，数学知识所表明的，就正是这样。
从表面上看，作为整个数学基础的数是抽象的，它不过是人类为了研究的需要而提出的一种主观的概念，这种概念并不反映外界的具体事物，它只能在思维活动中才有意义。但是，深入一步，我们就会明白，这种看法是不正确的。因为，若不是事物是客观的、确定的，若不是它们所具有的量和量关系同样是客观的、确定的，我们就不可能将它们加以比较，进行所谓抽象，也不可能把关于它们的认识，作为控制事物变化的可靠依据。理由很简单，要是两个物体，今天以这样的大小之比作用于我们的感官，明天以那样的大小之比作用于我们的感官，后天又以第三种大小之比作用于我们的感官，我们就不可能指出它们之间的数量关系，并对它们自身作出具有一定精确的度量。既然，严密的数学知识已经系统的建立起来，出色地经受于实践的考验，那就表明，数概念的确定，不仅与思维活动有关，而且为客观事物本身提供，数量是事物互相联系的一种客观表现，是我们认识事物不可缺少的一方面，它之所以不同于我们感官所表明的那些事物，只是因为那些事物有不同的表现方式。数同样是客观存在在思维中必然要形成的反映。
让我们再来看一看数学的发展过程吧！迄今为止，数学发展经历了这样一条道路，首先出现的是自然数、正分数，接着出现了負数、零、无理数，接着又出现了虚数，它们构成了算术、代数、几何、三角的主要内容。后来，解析几何，微积分学以及在微积分学基础上建立起来的各种数学分支，才逐一的建立起来。为什么数学的发展要经历这样的道路呢？一方面，从人类自身这个角度上看，它与人类的思维过程有关。因为，有些数学知识的建立，必须以其他数学知识为前提。但是，另一方面，在辩证唯物主义看来，它又与人类生产实践的过程以及客观事物量这方面关系的实在状况有关。
在事物的量这方面，最简单的莫过于由个体构成的自然数了，因而它最早在人类的活动中出现。由于并不是所有事物的量都成倍数比，个体还可以分成更小的部分，随着生产的发展，交换和社会生活的复杂化，自然数不能满足度量和进行运算的需要，更能正确反映事物之间量关系的正分数就随之产生。由于量与产生这种量的事物本身有一定的联系，某些事物具有不容轻忽的方向性，事物的量关系亦随所指的不同而有区别，一方增加的量，在另一方则表现为减少，其值虽同，但性质相反，当生产需要人们认识和掌握有方向性量的事物，并在人们对事物量这方面关系有了比较深刻的认识之后，他们就自然而然的提出負数这一概念。零的引入，固然为我们所应用的“位置制”需要，但也因为在实际计算中能够遇到这种情况，产生这种必要。无理数的引入，不单是为了解决数学运算本身所存在的一些问题，而且因为客观事物两量之比往往不能用有理数来表示。至于虚数，因个人知识浅薄，目前暂时无法探讨。同样，数学各分科的建立，大致上也经历类似的由浅入深、由简单到复杂的过程，这不仅与思维认识的顺序有关，而且由生产发展和它所研究的对象本身决定。很明显，微积分学的建立之所以在初等代数之后，最主要的是因为前者研究变量，后者研究常量，不先掌握常量，就无法研究由无数个常量按一定规则构成的变量。数学知识的发展，固然有着内部的系统性，但在根本上，却是由客观事物量关系的实在状况规定，是为了确切反映这些状况的结果。因为，客观事物间复杂的量关系是建立在简单关系的基础上，各种量之间有一定的联系程序，所以，人类对数量关系的认识就不能不依赖于实践，并经历与事物量关系相应的过程。数学中某些知识的建立所以要以其他知识为前提，其根源就在于此。
对数学本身来说，数学的定义、定理、运算法则和结论，是以几条公理为前提，从已有的知识中，经过严格的证明推导出来。因为，只有这样，它才能保持科学的系统性与完整性。但这并不意味着，数学知识与客观外界并无联系，或数学知识并不直接反映外界事物。事实上，数学中的有些规定，看起来好像是任意的，其实不然。例如，在算术中，两因子相乘，交换彼此的位置后，结果不变，而在向量代数中，两向量相乘（向量的矢量积），交换彼此的位置后，运算结果正好与未交换前相反。这看起来似乎出于我们研究问题的需要，由主观规定。实际上却是由于我们所研究的量的性质不同，而量的性质之所以不同，却是由客观事物本身决定，我们不能不随之作相应的规定。否则，我们就无法了解有方向性量的性质与关系，也无法认识具有这种量关系的事物。类似的事例很多，它们告诉我们，数学虽则容许我们作主观的设想和规定，但这是有限度的，这种限度由隐藏在主观形式之中、常常被人们怱视的客观事物本身决定。不言而喻，数学之所以需要设想和规定，其目的正是为了尽可能确切的反映外界事物或其彼此间的关系。
辩证唯物主义又指出：物质的运动遵循着三条最基本、最普遍的规律，即对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律。在数学中，我们也能够看到这三条规律的表现。
我们已经明了，数概念的规定，不仅与思维活动有关，而且为客观事物本身提供，我们也已经明了，数学知识的发展，固然有着内部的系统性，但在根本上，却是由客观事物量关系的实在状况规定。这样，我们就不难明了，数学的发展，实质上就是思维力求正确认识客观事物数量关系的结果，是这两方面又对立、又统一的过程。
数学的发展是建立在生产发展的基础上，而生产则是人类改造自然事物的一种活动，事物的变化是在一定的条件下遵循着一定的规律发生。既然事物数量关系是事物彼此间的一种联系，事物的变化就不能不与数量关系的相应变化有关，或在数量关系的变化中表现出来，要使生产进行得有成效，就需要有关数量方面的知识作指导。反过来，从思维这方面说，为了进行生产，思维就必须把客观事物彼此之间确定的数量关系，反映到自己的认识中来，了解它原来不了解的数量关系。随着生产的发展，人类不断的控制着事物的变化，也不断地接触着新的事物，接触到新的数量关系，思维中关于数量关系的认识也就不断的深化、充实、完善。这就表明，数学的发展实质上就是矛盾的产生、发展和解决的连续过程，是对立面互相转化的统一过程。
在数学的发展过程里，由量变所引起的质变及由质变所引起的量变的事实虽然不很明显，但也有所表现。我们知道，数学知识在生产过程中的广泛应用（量变），促进了生产的发展，而生产的发展又反过来向数学提出个新的要求，迫使数学引入新数（质变），而每一种新数的引入，又能使数学得到更广泛的应用（量变）。
数学的发展也遵循着否定之否定规律。起初，人们认为减数大于被减数是不能运算的，这是一种否定。后来，随着数概念的扩展，那种运算可以进行了，这便是对否定的否定，其结果使数学比原来更进了一步，有了更丰富的内容和多样的形式。关于负数的开方也是如此。这就表明，数学的发展不是直线式的，而是螺旋式的。
不仅数学发展本身遵循着辩证法所指出的三条最普遍的基本规律。而且，数学以它的全部知识反映出外界事物的类似情况。数学概念往往是成对的，如正数与负数、有理数与无理数、虚数与实数，数学运算往往是可逆的，如加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、微分和积分，数学概念中的质差别往往与它们所包含的量有关，如变量可以看成无限多的常量按一定规则构成的集合，圆内接正多边形无限增加时，就可以看作圆本身。如此等等。因为这些概念和运算所藉以建立起来的客观事物的数量关系，原来就存在着辩证关系。
上述种种，充份的表明，数学生动的证明了辩证唯物主义观点，而辩证唯物主义观点能使我们对数学有更深刻、更确切的了解，我们应该坚信，数学是一门客观的、可靠的科学，而辩证唯物主义则是我们攀登这门科学高峰的指南针，只有辩证唯物主义观点，才能使我们了解数学之所以有力的根源，找到发展数学科学的正确道路。
现在，在我们国家里，怀疑数学客观性的人越来越少，这是必然的现象。不过，我们不能因此认为：这个问题已经彻底的解决了。只要我们仔细的分析一下，我们就会发现，对数学和思维抽象客观性的理解，还有探讨的必要。在对数学和思维抽象客观性的理解中，有一种虽然认识到数学的发展取决于生产的发展，数学知识来源于实践，并反映了客观事物的某些方面，也承认数学的客观性。但它在涉及到数学的内容，涉及到与数学内容非常相似的抽象事物时，却总是偏面强调思维对外界事物改制作用的一方面，认为思维抽象的事物不是客观存在的具体的实际事物，它只在思维活动中才有意义。另一种不仅根据上述理由肯定了数学的客观性，而且认为数学内容以及与数学内容相似的抽象事物，虽经思维的改制，但其正确部分，是客观存在另一表现方式在思维中的反映，像思维中关于个别实际事物的认识一样真实可靠，它所反映的对象在客观世界中有不容替代、不容轻怱的地位和作用。我们要想在这两者中作出正确的抉择，就必须根据数学知识和其他科学所表明的事实，更深入的考察客观世界的实在状况、思维的特性、以及它们之间的相互关系。这样做对数学本身虽然没有重大的价值，但对我们深刻而正确的了解数学之所以有力的根源，领会辩证唯物主义观点，充实哲学理论，却很有好处，十分必要。本文不厌其烦的强调了数学的客观性，正是为了使我们在继续讨论和解决有关问题时，有一个可靠的立足点和总的前进方向。
（三）数学知识所表明的客观世界
那么，数学在认识客观世界的实在状况中，究竟能给我们怎样的帮助呢？或者说，通过现有的数学知识，我们能够了解到客观世界的哪些情况。
首先，我们可以看到：在数学所研究的数和数量关系中，充满着质的不同。各种数学知识，都有自身的规定性，从而体现出客观事物既是互相联系，又有质的不同，客观世界在形式上是无限多样的。
恩格斯精辟的指出：“数是我们所知道的最纯粹的量的规定，但是它们却充满着质的差异。”他在《自然辩证法》一书中，已对此作了令人信服的说明。
与此相关，数学中各种数量关系彼此间也有质的差别，这种差别表现在它们各有不同的定义、性质和公式。例如：三角和代数，三角虽然以一定的代数知识作基础，且是函数关系中的一种，但它又有独特的规定性，因而就能区别于其他函数关系。非常明显，三角函数中的y=sinx不同于代数中的y=x。因为，前者的y随x的递增而作周期性的变化，且绝对值不能大于一，后者的x随y的递增而递增，始终与y同值，我们不能将两者混淆起来。在高等数学与初等数学中，我们也遇到这种质的差别：代数方程y/x-1=o不同于微分方程dy/dx-1=o，因为前者表明了y=x（但不包括x=o）的关系，这个关系用图形（准确地说应为直角坐标系——2014-7-29更正，此段余同。）来表示就是不包括原点在内的第一、三象限的角平分线，而后者则表明了y与x之间存在着y=x+c（c为任意常数）的关系，这个关系用图形来表示却是一族（无限多条）与x轴成45º角的直线。类似的事例举不胜举，我们只要想一想数学知识不能互相代替这一事实，就能懂得，它们之间是有质的不同。
深入一步，从根本上说，数学中数量关系的质的差别是客观事物质方面差别在量关系中的表现。y=sinx与y=x之所以不同，主要是由于它们的研究对象不同。三角是研究事物空间形式的量关系，在事物空间形式方面边和角是有一定关系的，为了认识这种关系，我们就不能不制定相应的概念，在单位圆中定义sina=y/r来反映边与角的基本关系。因为直径是圆中最长的弦，y不可能大于r所以sina就不可能大于一，并且随着角度的不同而作周期性的变化。代数则不然，因为它研究事物彼此间的数量关系，只揭露两者之间互相依从的关系，不受上述空间形式方面的限制，这就决定了两种数量的质的差别。同样，y/x-1=o与dy/dx-1=o之所以不同，是因为前者只表明一事物随另一事物变化的状况，而后者则表明一事物变化所引起另一事物变化的快慢程度（这种快慢程度也是事物的属性之一，具有客观性质）。一事物随另一事物变化的状况不能不建立在该事物原来所处的状态之上，因而在y/x-1=o的解答中就不能包含任意的常数（这种常数标志着事物的初态）。而一事物引起其他事物变化的快慢程度，则与其他事物的初态、或不是由该方引起的变化无关，因此，在dy/dx-1=o的解答中，就包含了任意常数，并能作为初态不同的同类事物的共同答案。由此可见，y=sinx与y=x和y/x-1=o与dy/dx-1=o所以有质的不同，只是因为它们所考察的对象——客观事物不同，由这些事物构成的客观事物有多样的表现形式。
这里有一点值得我们深思，数学既然已撇开事物的质的方面，只对量这一方面进行考察，为什么在量这一方面还表现出事物的质的区别呢。根源在于，我们所考察的毕竟是作为事物一方面的量，这种量与事物的其他方面——尤其是质的方面有关，如果这种量不能体现出该事物的质的特征，不能体现出它与其他事物其他方面（包括质的方面）的联系，它就不能帮助我们认识和掌握这种或这类事物，就失去了现实意义，明确这一点对我们认识客观世界、了解思维之所以有力的原因极有帮助。
我们还可以看到，数学所研究的数和数量关系中，虽有质的区别，各种数学知识有自身的规定性，但它们又互相依赖、互相补充，共同遵循着一些基本的法则，构成了十分严密的数学系统。这种情况充分体现出客观事物不仅有个别的联系，而且有普遍的联系，客观世界是一个统一的整体。
事情很明显，量是客观事物的特性之一，而数则是客观事物量关系的一种表述，即使最简单的数，也必须包含两种事物的量，表明这两种事物在量方面的确定关系。因此，以数为基础的整个数学科学，实质上就是以客覌事物互相联系来作为自己存在的前提。
大家都知道，在数学的发展过程中，已经好几次引入新数了。每一种新数的引入，都是为了解决旧数所不能解决的问题。故此，新数必须具有不同于旧数的新质。但是，在建立新数的时候，我们又需以关于旧数的基本概念和原则作基础，把这些旧的基本概念加以引伸或扩展。因为，只能用新数来加以解决的那些问题，往往是旧数所能解决问题中的特殊情况、例外、或旧数所研究数量关系复杂化的结果（从主观角度来说）。故此，我们在认识那种情况或结果时，必须以旧数所积累的知识作出发点，旧数和新数必然地保持着一定的联系。上面已经说明，每一种新数的引入，均与客观事物量关系的实在状况有关，由此可知，新数与旧数彼此间的联系，实质上就是客观事物相互联系在数量方面的反映。
各门数学分科的知识有自己的规定性，这是不容怀疑的。但同样不容怀疑的是，这些知识有着密不可分的联系。高等数学知识虽则不同于初等数学知识，但它在初等代数的基础上建立起来，是初等数学知识普遍化、深刻化的结果，不理解初等数学知识就不能理解高等数学知识，只掌握初等数学知识，不掌握高等数学知识，就不能更全面的掌握事物的数量关系。在我们所学的各门数学分科中，几乎随时随地都能遇这类互相依赖、互相补充的事例。同时，所有数学分科中各种不同形式的数，还具有一些共同的基本性质，遵循着一些共同的基本法则。例如，它们都适合传递律（若A等于B，B等于C，则A等于C），并可进行四则运算等。因此，我们有理由认为，数学之所以是一门由不同性质的数量关系构成的系统而完整的科学，不仅是因为它所考察的客观事物都是事物的量方面，而且还因为这些量有普遍的联系。上述的基本性质和法则是不随我们采用的记数法而变。这就说明，它们作为事物量关系的客观规定，是事物统一性的具体表现。
所有事物既是不同的，又是统一的，这是数学知识向我们显示的客观世界实在状况之一。（原文中字体明显加大。下划线系抄录时后加，余同。）
其次，在数学知识中，我们能够遇到这样一种极为普遍的情况，对同一事物的量或同一事物的量关系，我们可以用不同的方式去描述，而对不同事物本质上不同的量，我们也只能通过由它决定的数量关系去认识。这种状况说明了，客观事物的量，连同决定这种量的质都是借助于彼此联系表现出来。
例如，对一米长的物体，我们可以用100厘米或三市尺去表示。每一种有单位的量，只要将所采用的单位加以改变，它的数值也就有相应的改变。数量关系也很类似，直角三角形中的曲线x2+y2=z2在另一直角坐标系中就不再是曲线x2+y2=z2，而在以原点为极点、x轴为极轴的极坐标系中，就变成了p=2（因找不与原文对应的拉丁字母符号，故用p代替——2014.8.15）。再如：y/x-1=o中的y与dy/dx-1=o中的y有质的区别，我们是怎样认识和表示出这种区别的呢？我们只有通过它与x联系的情形，才能认识和表示出这种区别。因为，前者指y与x的联系适合方程y/x-1=o，后者指y随x的变化速度适合方程dy/dx-1=o。
数学中还有一种同样普遍的情况：在某一范围内不能建立起来的数量关系，在另一范围内就能建立起来，在某一范围內不能得到解决的问题，在另一范围内就能得到解决，这种情况表明了事物之间的具体联系是依赖于事物本身而存在，被它本身决定。
例如：在自然数中，3-5不能运算，但在有理数中，就有3-5=-2的结果。在有理数中，方程x2-15=0无解，在无理数中，即有x等于正负15开平方﹙因文档内无二次根号符号，故改用文字说明2015-1-4﹚的结果。再如：在初等函数里，即使角度很小，也不能使sinx=x，但在高等数学里，考虑极限的情形，应用罗必达法则：（经过极限运算，可得x趋向零时——2014.8.15），当角度很小时有sinx=x。
所有这些表明，从某一方面看事物所不能存在的联系，在另一方面看时，就可能存在，或对其他事物来说可能存在。在一共只有三个人里，要拿出五个人是难以想像的，但在摄氏零上三度中下降五度，变成零下两度（-2）就很自然。要使正方形面积十分正确的等于15个单位，这是办不到的，在理论上是不可能的，但要使它在一定精度内等于15个单位，则不大困难，在理论上是可能的。在根据正方形面积确定正方形边长时，x等于15开平方是难以想像的，但在另一些问题中，x等于15开平方却易于理解。可以这样来设想：质量为4克的小球，经过A点以初速度5米向东运动，受到20达因的反向力作用，求当小球的的动能等于30尔格时，小球的速度，代入公式经过演算后，我们就能得到小球的速度等于正负15开平方的结果，这里的小球的速度等于负15开平方同样是有意义的，它表明小球在A的东、西大约一厘米处所具有的速度，这个速度的方向与原来的速度方向相反。我们应用数学知识去解决实际问题时，通常需要根据题意对结果进行验证，舍去其中不合理的答案。因为，由事物本身决定，这种答案所藉以获得的联系，并不是它们之间的真实联系，没有客观性质。
恩格斯说：“一切数的定律都取决于我们所采用的记数法，而且被这个记数法来决定的。”他指出：“在二进位记数法或三进位记数法中，2×2并不等于4，而是等于100或11，在以奇数作基数的每个记数法中，奇数与偶数的关系失去了作用。”（《自然辩证法》p218）确实，改变了现用的记数法，现有的各种数量关系、空间形式关系的表达式——数定律的一种，都会有不同程度的改变，整个数学亦将改变其面貌。这虽则是一种设想，但这种设想是有客观的依据，以上几个事例便可用来说明。因此可知，客观事物彼此间的具体联系，是不能离开事物本身的。因为，当我们用一种记数法去描述事物本身时，它们彼此间的个别联系，以及类似事物之间的特殊联系，也就随之有确定的形式。当我们改变了这种记数方法，由于上述联系不依我们认识为转移的依赖于事物自身，我们用以描述上述联系的形式，就不能不随之改变，否则，这种形式就失去了客观的内容和存在的价值，就无法使我们在实践中把握客观事物的变化。因此，我们必须承认，事物之间的具体联系依赖于事物本身，并且是客观存在的。
客观事物的量，连同决定这种量的质，都是借助于彼此的联系表现出来；而它们彼此间的联系又依赖于它们自身存在，两者是不可分割的，这是数学知识向我们显示的客观世界的实在状况之二。
再次，将各种数学知识加以比较，我们就能知道，这些知识中，有一部分是通过事物彼此间的联系，选定其中某些事物的量作标准去衡量另一事物的量。换句话说，这一部分知识是说明构成数量联系的主体——某一特定事物特定的量，研究常量的初等数学知识就是这样。如关于几何体的长度、面积、体积的测量和计算，关于代数应用题的解等等。它们向我们说明，事物的量连同事物自身都是客观的、确定的、真实的，这一点可由我们的直观或实践验证，一般不会引起怀疑，这里就不多作解释。
数学知识中还有一部分是描述事物之间联系的变化过程的，或者说揭示事物数量方面联系的特点和性质。研究变量的高等数学知识就是这样。如关于极限和函数连续性的判定等等。它们能向我们说明，事物量方面的联系，不仅像事物量本身一样的客观、确定和真实，并且具有事物量本身所没有的、也不可能有的新特性。从而反映出事物彼此之间的联系不能用事物本身去代替的客观事实。
以无穷小为例，无穷小不是确定的数，它看起来好像不是客观事物的量，而是主观的规定，是人们为了进行理论研究所提出的、只在思维活动中才有意义的概念。其实这一概念的提出，不仅有它的客观根源，而且有客观的必要性。因为，有些客观事物的变化过程是连续的，它具有这样一种特征，即变化过程中的某一状态及某一阶段的结果系由许多极微小的变化，按一定的规则构成，选取其中的某一状态作标准，则距离这一状态越远，变化就越大，距离这一状态越近，变化就越小。这种变化程度随与选定的标准状态的距离而变，可以任意地小。显然，这种情形与我们关于无穷小的定义很相似，无穷小可以看作是对这种变化过程性质的表述。当实践需要我们精确掌握事物在变化过程中的某一状态，我们就必须使自己所认识的这一状态的变化尽可能小；我们要尽可能精确地掌握变化过程中某一阶段的结果，也必须使自己所考察的构成这一阶段的各状态尽可能精确，所以我们就不能不提出无穷小的概念，并对它进行研究。我们在考察物体运动在某一位置的速度时，往往要使时间的变化趋近零，而在考察某些立体的体积时，又需将该立体分成无数薄片，使每一薄片的厚度趋近零，这些便是上述看法的证明。无穷小虽然不是确定的数，但是客观事物变化过程中一种确定的性质。它虽则不是具体事物的量，但它反映了不同于事物本身、不能用事物本身变化来代替的量关系的特点，像对事物量的认识一样是客观的、真实的。
正因为无穷小这一概念是对客观事物变化过程性质的表述，它不仅在我们解决实际问题时得到广泛的应用，而且，还可以进行比较和运算。
极限的概念也是这样，它不只是人们对某些客观事物量关系的认识，而且是客观事物某些量变过程性状的主观表述，它所反映出来的量变过程具有与构成这一过程的事物同等的客观性、真实性。显而易见，以极限为基础的微积分学，绝大部份都是关于量变过程的一些认识。如连续性、拉格朗日定理，罗必达法则等等，这些知识说明了量变过程在客观世界中有自己规定的内容和地位，我们不能把它们完全归结为构成这一过程的事物本身。
附带提提，在实际生活中，我们所接触到的都是个别事物之间的联系，但在数学中，它就变成了一般的形式。有些事物不同，但它们彼此间量关系的表达式却很类似。如电学中V=IR，力学中W=FS，长方形面积A=xy，其所以如此，是因为它们的主体虽则不同，但它们的联系方式（即变化过程）却很类似，这也可算是变化过程具有新特性的例证。
客观事物的区别和联系是同样的客观、确定和真实，且各有自己的内容、特点和表现方式，两者不可混淆，这是数学知识向我们显示的客观世界的实在状况之三。（原文中字体明显加大。下划线系抄时后加）。
（四）数学知识所表明的思维特点
明白了数学知识所体现的客观世界实在状况，我们再来探讨它所表明的思维的特点，并将它与客观状况结合起来，加以对照、比较。这样就有助于我们全面而深刻的揭示出思维之所以有力的根源。
能够在感性认识的基础上，对具体事物进行抽象，这是思维的第一个基本特点。我们在数学中接触到的，绝大多数都是这种抽象的结果。如点、线、面、体、数等等。经验表明，它们并不是个别客观事物的直接印象，而是对客观事物的某一方面或某一方面联系的表述。在客观世界中，这一方面或这一方面的联系并不能离开事物本身，但在数学中，在思维领域中，它们却能成为独立的主体，成为我们建立科学知识的要素。思维的这种状况很容易使人产生这样的看法：思维中的这一类概念，并不反映外界事物，它只有在自身活动中才有现实的意义，而思维之所以能够帮助我们深刻的认识事物，之所以有力，主要也是因为它有这种其他事物所没有的特性。
从思维角度来说，上述看法无疑是对的，但从研究哲学的角度来说，我们就不应该使自己的认识停留于此。因为，哲学要解决思维与存在的关系问题，上述看法却只涉及到主覌的一方面。而且数学的发展过程和其他的科学知识告诉我们，思维能抽象的这一特点，是人类通过长时期的劳动，在不断的改造世界的实践中获得。这就是说，思维能够抽象，还有客观方面的原因。
我们已经了解，思维是客观存在的反映，客观事物既有不同，又相联系，它们的不同借助于彼此间的联系得到表现，它们的联系依赖于它们自身存在，这两者是同样的客观、确定和真实，但各有自己的内容、特点和表现方式。因此，我们可以确认，客观存在有两种不同的、但又不可分割的表现，事物的本身以及它们之间的联系。而人类的思维认识，也就不能不有两种不同的、但又互相联系的方式与之相应，一种是根据个别客观事物的不同方面对不同感官的作用，由这些感官所得的感觉综合成人对这一个别物体的认识；一种是根据类似事物有关方面对同一感官的反复作用，通过思维自身的相应活动，得出对这一事物有关方面共同特点或联系内容的认识。这两种认识在本质上是统一的，它们都是客观存在的反映，其内容取决于客观存在，且彼此间相互联系，但由于它们反映着客观存在的两种不同方式，因此，它们之间也就有所区别。前一种认识所反映的对象——事物本身——有各方面的表现，并能单独而直接的与感官发生联系，这就决定了它的直观性和比较明显的独立性。后一种认识所反映的对象——事物联系——依赖于事物本身存在，只能通过事物本身才能在思维中形成反映，这就决定了它只有在感性认识积累到一定程度后，通过思维的能动作用，才能获得，并有较大范围的普遍性。它们之间的不同，其实质就是客观存在的方式不同，思维之所以能够抽象，与事物之间存在联系以及它们对感官的作用不同分不开。
我们往往认为，抽象事物与个别具体事物的不同，主要是在于前者撇开了事物的具体属性，把其中的某一方面当作独立的东西来进行考察。而实际上，这一方面却不能离开它所撇开的那些具体属性，因此，它就区别于客观存在着的具体事物，只能作为思维的产物，在思维活动中才有意义。其实，这种看法并不怎么确切。因为，借助于彼此联系来表现自己性状的任何客覌事物，既处身于不断的运动和发展之中，它的具体属性，也就会不断的出现，我们的认识是不可能把它的具体属性全部的反映出来，所以，两者的区别只在于所撇开属性的多少和主观的反映方式，在于它们的客观性用不同的方式表现，而不是在于它们有无客覌性。当然，思维抽象的内容也有不同。有些思维抽象是由于客观存在只能以这种方式在人脑中形成反映，有些却确实是思维的产物（从客观存在这意义上说），但相对而言，前者是主要的，后者是从生的，我们不能从后者出发来解释思维抽象，或互换它们的主次关系。
如果，我们将数学中思维抽象的结果加以粗略的分类，我们就会看到，它们之中有一些是表述事物某一方面的属性，就如点就是表达事物位置方面的情形。有些则表达事物某一方面的联系，如数就是表达两个事物量的比较。还有一些则是表达事物发生联系时所产生的不同于事物本身的新性状，如无穷小和连续性。就是表达某些函数变化过程的特征。数学中许许多多的公式和定理，也都是反映事物彼此发生联系时，为它们自身所决定的、但不能用任何一方来代替的新特性。以上种种是不能离开事物自身、但又与事物自身有区别。我们不能不用现在所谓的思维抽象去认识。
也许有人认为，你一方面用数学知识去说明客观世界的实在状况，另一方面又用它来说明抽象思维的内容，并以此来证明它们是一致的，这样做豈不是玩弄诡辩的手法。其实，我们一开始就指出，数学知识来源于实践，取决于客观世界的实在状况和思维本身的特点，是客观世界在人脑中的反映。因此，它实际上就是主观和客观一致的标志，我们这样做正是基于数学知识的这一点，决不是玩弄什么手法。
正因为思维有这样的特点，它才能全面的、深刻如实的把事物之间的联系反映出来，并通过这些联系，认识那些不能直接作用于我们感官的事物。正是思维的这个特点，消除了人体感官的局限性，使人类能以一种独特的方式进入广阔的现实世界，认识有关它们的种种。人类本身的力量虽然非常有限，但她所能掌握、所能利用的客观事物的物质力量，却是无比强大。
能够根据客观事物所提供的资料，对事物进行有目的、有条件的改造、制作，这是思维的第二个基本特点。我们在数学知识中所遇到的行列式、数轴、坐标、各种三角函数等等，便是它的表现。它们虽则也是反映事物量这一侧面的关系，但和点、线、面等概念不同，它们不是客观事物某一方面的表述，而是思维把从各种事物中抽象出来的各方面综合起来，加以想像的结果。很明显，行列式不能作为客观事物的映象，也不能作为对某客观事物一方面或一方面联系的表述，而数轴和坐标也只能作为从客观事物量关系中抽象出来的数和从客覌事物空间形式中抽象出来的线度在主观上结合起来的产物，
从主观方面来说，思维具有这种特点，是因为人体是一个统一的整体，各种感觉器官虽有不同的职能，但彼此通过大脑紧密的相联在一起，它们之间的联系在内容上固然取决于外界事物的实在联系，但其形式却由思维规定。因此，思维中反映外界事物的概念之间的联系，就要比事物之间的联系迅速得多，容易得多，且不像外界事物本身那样严格的受空间、时间和其他条件限制。思维中反映客观事物的概念比客观事物本身有较大的任意性和灵活性。因此，它就能把从不同客观事物中抽象出来的各方面结合起来，帮助自己认识原来就借助于其他事物来表现的那些事物及其联系。
从客观方面来说，思维之所以有这样的特点，除了与客观事物有多方面表现这一状况有关外，更主要是事物之间的联系依赖于它的主体。在第二节里，我们已经举出很多事例，说明事物联系对它的主体的依赖性。这里我们还要进一步指出：一事物与他事物发生联系时，能起决定作用的，往往只是其中的某一方面，一般的具有多种联系的个别事物，均可看作由能够决定这些联系的各方面共同组成。我们从其他科学知识和生活经验中可以知道，事物具有某一性质总是因为它的组成之中有决定这一性质的因素在内，这一因素作为另一事物的组成时，虽然然也受其他方面的影响，但仍然发挥着由它决定的独特作用。例如，由于高速钢中鎢的比重最大，我们就可以根据它的比重迅速测定钢中的钨含量。我们也可以根据纯铜在水中所减轻的重量、纯银在水中所减轻的重量，以及铜银合金在水中所减轻的重量，求出铜银合金中铜和银的含量。因为客覌世界存在着这种状况，思维在长时期反映客覌事物的过程中，也就逐渐的能够把从事物中抽象出来的各方面任意地组合起来，以便于认识事物的变化，或作为掌握事物变化的一种依据。行列式和坐标定义的规定在形式上虽然是完全主观的，但是：
一、若不是客观事物彼此间存在着可以用联立方程组a1x+b1y=c1、a2x+b2y=c2形式表示的量关系，行列式便失去了存在的前提。同样，若不是事物的量关系可以用抽象的数表示、也可以用无宽无厚的线度表示，数轴和坐标便失去了存在的前提。
二、若不是客观事物量关系形式如联立方程组a1x+b1y=c1、a2x+b2y=c2时，以x表示的事物的量等于（c1b2-c2b1）/（a1b2-a2b1）；以y表示事物的量等于（a1c2-a2c1）则行列式定义的规定是不可能的，至少也不会像现在我们所学的那样。
这就是说，这种定义的规定，虽则是主观的，不是直接反映客观外界某一或某类事物的内容，也不是对外界事物某一方面或某一方面联系的表述。但它与客观存在的状况有关，是对这种状况的仿照。而且，思维的改造和制作，取材于外界事物的某一方面或某一方面的联系，为了便于我们认识事物，更有效的掌握事物。据此，我们可以确认，思维的这个特点，并不像唯心主义所说的那样是自生的，或上帝赋予。思维之所以有力，不单在于它能够进行主观制作，更主要是在于它能够根据外界所提供的材料，通过主观制作，使自己的形式能够更深刻、更确切、更全面的符合客观存在的状况。离开了这一点，思维就谈不上有什么力量。我们都懂得，胡思乱想是不能够帮助我们掌握事物的变比，指导我们达到预定的目的。因为它不符合客观存在的状况，客观事物不会产生那样的结果。
能够继承前人的知识，结合新的情况予以发挥，并交换彼此间所得的成果，这是思维的第三个特点。很明显，数学知识之所以能像今天我们所看到的那样丰富、系统而完整，是经过长时期的历史发展，与无数学者为了解决社会发展所能提出的问题、创造性的运用积累起来数学知识分不开。在某种意义上，可以看作由他们共同劳动所产生出来的硕果。我们在学校中接受关于各种科学知识的教育，在社会上又运用这些知识从事集体生产，也是思维这一特点的具体表现。
从主观方面来说，思维之所以有这样的特点，是因为思维是通过自己的方式，即通过概念——不是事物本身——来反映客观事物，因此，它特别便于牢固的记忆和广泛的交流，适于认识时刻变化着的事物。
从客观方面来说，思维之所以有这样的特点，是因为人类依靠改变自然事物来维持和改善自己的生活，并以集体的方式来进行劳动，这样，她们之间就有着交流思想的可能和必要。而且，由于客观事物处于不断的发展状态之中，在一定的条件下，按一定的规律变化，变化后既既保持原有的某些特点，又增加新的内容，这就使得人类的科学知识——对客观事物及其联系规律的认识——既需积累，又需扩展，在形式上就有传授、交流等活动。
能够把物质的变化反映为思维的过程，并通过思维的过程去预测思维的变化，然后又通过生产实践去影响这种变化，在符合客观规律的前提下，将思维过程转化为客观事物的变化，这是思维的第四个特点。思维的这个特点，在数学中表现得十分明显，在数学中，我们就是把各种具体事物的量或量关系概括成抽象的数和各种算式，然后根据一定的法则，考察这些算式在不同情况下的不同结果，以判断事物的变化情况，并指导行动去控制它的变化，获得思维所预期的成效。极大极小值的确定及其在实际生产中的应用便是很好的例证之一。
从主观方面来说，思维之所以有这样的特点，是因为它用概念来反映外界事物，能够通过概念去表达外界事物的变化过程，掌握事物在各种条件下的各种变化，且不像事物本身那样在一定的条件下严格的遵循某种法则，只实现某一种的变化。因而在思维中就有可能对事物的变化作预期的、任意的（有限度）选择，然后通过行动去创造事物实现这一变化所需的客观条件，以促使其实现。
从客观方面来说，思维之所以有这样的特点，是因为客观事物彼此联系在一定条件下，按一定的法则变化。因此，它就不能不与人的感官发生直接、间接的联系，在感官中留下由它规定的、一定的感觉，这样就为思维将事物的变化反映为思维过程提供了可能。同时，人类作为自然界发展的产物之一，其行动能够对各种自然事物起物质的作用。由于人体是有机的、统一的，思维能够支配行动，当它和行动结合起来的时候，它也就具有了物质的意义和力量，能够作为事物发生变化的条件之一，这样，它就能使事物的变化向预定的方向进行，转为客观事物的变化。
需要着重说明一下，在以上两点分析中，我们可以看到，思维的特点，往往与它用概念来反映客观事物有关。为什么思维能用概念来反映外界事物呢，这不是单用数学知识所能说明的。这里，我们仅能指出，它是由客观事物存在方式以及它们对思维的作用决定。因为客观事物借助于彼此的联系表现出来，而这种联系又依赖于联系的主体存在，当客观事物和人体上各感官发生联系时，以这些感官感觉为基础的思维自然也能根据两者之间比较稳定的联系，用自己的方式——概念——来表明对方对自己的作用和对方的特征。
还有必要说明一下除此之外，思维还有其他的特点，但那些特点和上述四个特点有一定的联系。例如，思维能从有限中把握到无限。因为，个别的客观事物本身虽然有限，但它通过与其他事物的联系，就表现出无限，思维通过抽象，掌握了这种联系的内容和性质，就能认识到这种联系是不可能终止的。又如思维遵循一定的规律，进行判断、推理、假设的结果，就能获得对客观存在的认识。因为，事物本身和它们的联系之间存在着辩证关系。思维通过抽象，掌握了这种辩证关系，就能把这种关系反映到自己的活动中，建立起相应的方式，以保证自己的活动不违背客观状况，达到正确认识客观事物及其联系的目的。当然，思维的其他特点是不能用上述四个特点去代替，要了解思维所以有其他那些特点的原因，还需做很多工作。但是，我们可以从那些特点与这些特点的联系；从对这些特点的探讨中看出：思维之所以有自己的特点，与客观存在有关，我们应该使自己的认识深入到这一方面，抓住它的根源，以便充份发挥它的作用，而不应该仅以指出它的特点的内容为限。
（五）对有关问题的回答
通过对数学知识所表明的客现世界实在状况和思维特点的讨论，我们就能比较确切的回答本文开头所提出的一些问题。为什么高度抽象的数学会如此古老而又如此重要呢？现在我们可以有根据的回答说，这主要有两方面的原因，一方面是因为客观事物彼此间存在着与它们自身同样真实的、客观的联系，依靠彼此间的联系来实现自己的变化，并把自身的变化反映到彼此间的联系中。人要改变事物的原有性状就必须认识它与其他事物的联系，掌握和运用这种联系；另一方面是因为事物彼此间的联系依赖于它自身，被它自身决定，人要认识、掌握和利用它和其他事物的联系，首先必须从接触、观察个别事物的自身开始，只有使这种接触和观察积累到一定程度之后，才能达到目的。由于这两个缘故，即使人类自己尚未意识到自己在进行思维抽象，它实际上已经在人类的实践活动中，发挥日益巨大的作用，并迫使人类自觉的认识它。
数学知识之所以能够指导我们的实践，思维活动之所以有力，其客观方面的根源在于客覌事物彼此之间存在着联系，能够相互影响，并在彼此的联系中，按一定的规律，实现自身的变化；在于思维能直接支配行动的物质力量，并通过行动的物质力量支配其他客观事物所具有的物质力量。其主覌方面的根源则在于，思维既能够把客覌亊物的某一方面或某一方面的联系，从其他方面“人为”的分割出来，全面深刻的认识这一方面或这一方面联系的实质，通过这一方面去促使或控制事物的变化；又能够以自己的方式，将不同客观事物的不同方面迅速的联系在一起，根据己经掌握的客观规律，预测客观事物互相影响的结果，然后，依靠行动，运用其他事物所具有的物质力量，使预期的结果得到实现。
究竟应该怎样理解数学和思维抽象的客观性呢？现在，我们有充分的理由回答说：数学和思维抽象在形式上虽然是主观的，但我们不能据此肯定，它只在思维活动中才有意义，或只能作为思维自身的产物。不能一概而论。因为，思维抽象是客覌存在在人脑中必然要形成反映的一个方面；因为，思维抽象中的正确部份是人対客覌事物认识的组成部分。我们首先应该肯定的是它有不容轻忽的客观意义，在着重强调这一点的同时，我们还要指出它并不是客观存在本身。其不正确部分是客覌存在在人脑中所形成的幻象，是没有意义的思维产物。我们可以通过实践；也只有通过实践区分这两者。既然数学和其他一些抽象的科学知识已经在我们的实践中发挥了巨大的作用，得到了验证，我们就不宜再把它局限于思维领域之中，而要指出它在客观世界中的地位。只有这样，这些科学知识才不至于引起我们思想上的混乱，我们也才能更好的运用和发展这些知识去改造世界。
基于这一理由，我认为，关于数学和思维抽象的客观性问题，第二种理解是更正确的。（原文字体加大，它是对第7页所提问题的回答——2014.8.15）
明白了数学知识所表明的客覌世界实在状况和思维特点，解决了思维抽象的一些问题，这对于哲学会有什么用处呢？
第一，它能够纠正我们对哲学的不正确看法。
在对数学知识的分析中，我们已经知道，正确的思维抽象有着它的客覌意义和内容，它所反映的对象在客覌世界中有不容抹杀或代替的地位，是我们改造世界不可缺少的依据之一。哲学虽然也像数学一样高度抽象，但它并不是不可捉摸的，更不是因人而异，游移不定。相反，它也有确定的客观准则，可由实践验证。哲学的研究对象在客观世界中要比数学有更普遍的意义，能够指导我们更深刻、更全面的认识各种事物，把握这些事物，我们应该以加倍的努力去掌握它。生活经验告诉我们，一个不懂数学的人，虽然也能生活，但他的生活往往要比懂得数学的人困难，尤其当他从事更复杂的工作时。同样，一个不懂哲学的人，虽然也能生活，但他的生活往往有更多的波折和困难，容易走弯路。尤其在现在，国内的资产阶级思想残余仍然存在，国外的帝国主义正在虎视眈眈，修正主义者又正在麻瘅我们的斗志，腐蚀我们的思想，不掌握无产阶级手中最锐利的武器——辩证唯物主义，我们就很难明辨是非，站稳立场，认清方向，信心百倍地前进。
为了使更多的人掌握和运用辩证唯物主义，我们应该破除把哲学只当作对思维有用的传统看法。由于哲学是一门高度抽象的科学，历史上的剥削阶级和统治阶级，一直都把它说成是十分神秘的东西，并把它与改造世界的实践分开，力图使它和生活脱节。现在，劳动人民虽然已经当家作主了，并开始把它应用到自己的工作、学习和生活中去。但是，在有些人眼里，它还是只对思维活动起指导作用；而在客观世界中并无实际对象的科学。这种看法，不能帮助我们理解哲学科学本身和它的某些理论，有效的运用这些理论，也不能促使哲学更迅速的发展。我覚得，目前的哲学，还有些像一个时期以前的数学，在那个时期，数学曾被当作与生活无关的游戏。现今的哲学也很类似，它的客观一面，还没有被人们真正的重视起来，通过对数学知识的分析，我们可以体会到，正确的思维抽象也是客覌事物在人脑中所必然要形成、而且只能这样形成的反映——就它的内容来说，像辩证唯物主义这样已经被近百年来历史发展、科学成就所证实了的哲学，我们必须把它的客观性放在首要的地位上。在阐明哲学产生、发展和某些哲学理论本身时，从客覌这一方面出发，再不能在字面上提及哲学的客观性，而在涉及某些实质性问题——如哲学的现实意义和作用时，又撇开它的客覌方面，只限于思维方面来进行论述。
第二，它能使我们对辩证唯物主义有一个比较具体的了解。本来，辩证唯物主义从各种可靠的科学知识中概括出来，它深刻的反映出客观世界的本质，反映出事物发生变化时所遵循的最普遍的规律，是能够指导我们的工作、学习和生活，帮助我们恰当的处理各种问题，掌握自然力量。但由于它的高度抽象性，使我们难于理解和运用，有些同志常常有意无意地把它同现实世界生硬地隔开，这些都妨碍了辩证唯物主义的普及，不利于发挥辩证唯物主义的战斗力。我们通过对数学知识的分析，就能够更清楚的看到，辩证唯物主义最真实的反映了客观世界，丝毫也不虚玄，我们完全能够掌握它，而一旦掌握了它，我们就能更全面而深刻的认识那些最复杂的事物，找到努力的方向。
第三、它能够为我们进一步探讨各种哲学观点，提供可靠的资料，丰富我们的哲学知识。在本文中，我们就思维抽象和思维有力的根源进行了探讨，我们可以看到，这种探讨并不是没有所得，它使我们对思维抽象的实质和如何发挥思维力量有了较确切的认识，如果我们能够对其他科学知识进行类似的探讨，我们就能更确切的说明事物的发展过程和人的主覌能动作用，为我们改造世界提供具体而可靠的依据。
如敏 1964.6
